domingo, 3 de abril de 2011

APLICACIONES DE LA DERIVADA

En el Tema 9 estamos viendo para qué sirve la derivada de una función, a parte de para calcular la recta tangente y la recta normal en un punto.
Lo primero que hemos visto es que el signo de la primera derivada nos indica si la función es creciente o decreciente.
También hemos visto que los puntos donde se anula la derivada, llamados puntos singulares, son posibles máximos o mínimos relativos (locales).
Es decir:
- Si f'(a)<0, f es decreciente en x=a
- Si f'(a)>0, f es creciente en x=a
- Si f'(a)=0, x=a es un punto singular, un posible máximo o mínimo relativo

Para averiguar si un punto singular es máximo o mínimo relativo:
- Si f es creciente cuando x<a y f es decreciente cuando x>a, f alcanza un máximo relativo en x=a
- Si f es decreciente cuando x<
a y f es creciente cuando x>a, f alcanza un mínimo relativo en x=a

También se puede averiguar si es máximo o mínimo relativo con la segunda derivada:
- Si f'(a)=0 y f''(a)<0 entonces f alcanza un máximo relativo en x=a
- Si f'(a)=0 y f''(a)>0 entonces f alcanza un mínimo relativo en x=a

NOTA: Para representar dichos máximos y mínimos en la gráfica de la función, necesitamos la coordenada y, es decir, tenemos que sustituir dichos puntos en la función para averiguar su imagen: (a, f(a))

NOTA: Para estudiar el crecimiento y decrecimiento de una función, los puntos donde no está definida también influyen al dividir la recta numérica y estudiar los signos de la derivada. Sin embargo, estos puntos no pueden ser ni máximos ni mínimos relativos puesto que la función no está definida en ellos.

Un ejemplo práctico del estudio del crecimiento, decrecimiento máximos y mínimos relativos de una función lo podéis encontrar en el siguiente vídeo:

Y también en este vídeo:

1 comentarios:

Unknown dijo...

muy interesante :)