APLICACIONES DE LA DERIVADA III

Para finalizar las aplicaciones de la derivada, os dejo un resumen y ejercicios de la Regla de L'hôpital, y de los Problemas de Optimización.

RESUMEN - EJERCICIOS - REGLA DE L'HÔPITAL

RESUMEN - EJERCICIOS - OPTIMIZACIÓN

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REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES

Todo lo que hemos estudiado hasta ahora de funciones, nos sirve para realizar un estudio completo de la función y poder realizar un dibujo de su gráfica más o menos decente.
Los pasos que hay que seguir los hemos visto en clase, y os dejo un resumen detallado y ejercicios resueltos para que les echéis un vistazo.

APUNTES Y EJERCICIOS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES

También os dejo un vídeo, como siempre, de ejemplo:

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APLICACIONES DE LA DERIVADA II

Como hemos visto en clase, otra aplicación practica en el estudio de una función, es la segunda derivada. Estudiando su signo sabremos qué curvatura tiene la función, cóncava o convexa.
- Si f ''(x) > 0, entonces f '(x) es creciente. Es decir, las pendientes de las rectas tangentes van creciendo, por tanto, la curvatura es positiva o convexa.
- Si f ''(x) <0, entonces f '(x) es decreciente. Es decir, las pendientes de las rectas tangentes van decreciendo, por tanto la curvatura es negativa o cóncava.

NOTA: Algunos libros y/o autores consideran la curvatura positiva como cóncava y la curvatura negativa como convexa.

Cuando hay un cambio de curvatura (de cóncava a convexa o viceversa), decimos que f tiene un punto de inflexión.
Los puntos de inflexión se obtienen de la 2ª derivada igualada a cero, siempre que la 3ª derivada sea distinto de cero.
Además, en las funciones a trozos, los puntos frontera pueden ser también puntos de inflexión si se produce cambio de curvatura.

A continuación os muestro un vídeo con un ejemplo del estudio de la curvatura de una función:

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APLICACIONES DE LA DERIVADA

En el Tema 9 estamos viendo para qué sirve la derivada de una función, a parte de para calcular la recta tangente y la recta normal en un punto.
Lo primero que hemos visto es que el signo de la primera derivada nos indica si la función es creciente o decreciente.
También hemos visto que los puntos donde se anula la derivada, llamados puntos singulares, son posibles máximos o mínimos relativos (locales).
Es decir:
- Si f'(a)<0, f es decreciente en x=a
- Si f'(a)>0, f es creciente en x=a
- Si f'(a)=0, x=a es un punto singular, un posible máximo o mínimo relativo

Para averiguar si un punto singular es máximo o mínimo relativo:
- Si f es creciente cuando x<a y f es decreciente cuando x>a, f alcanza un máximo relativo en x=a
- Si f es decreciente cuando x<a y f es creciente cuando x>a, f alcanza un mínimo relativo en x=a

También se puede averiguar si es máximo o mínimo relativo con la segunda derivada:
- Si f'(a)=0 y f''(a)<0 entonces f alcanza un máximo relativo en x=a
- Si f'(a)=0 y f''(a)>0 entonces f alcanza un mínimo relativo en x=a

NOTA: Para representar dichos máximos y mínimos en la gráfica de la función, necesitamos la coordenada y, es decir, tenemos que sustituir dichos puntos en la función para averiguar su imagen: (a, f(a))

NOTA: Para estudiar el crecimiento y decrecimiento de una función, los puntos donde no está definida también influyen al dividir la recta numérica y estudiar los signos de la derivada. Sin embargo, estos puntos no pueden ser ni máximos ni mínimos relativos puesto que la función no está definida en ellos.

Un ejemplo práctico del estudio del crecimiento, decrecimiento máximos y mínimos relativos de una función lo podéis encontrar en el siguiente vídeo:

Y también en este vídeo:

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APUNTES Y ACTIVIDADES DE LOS TEMAS 7 Y 8

Aunque con algo de retraso, os subo apuntes del tema 8, y actividades de los temas 7 y 8, que ya he dado en clase, y que están también en fotocopiadora.

APUNTES TEMA 8

ACTIVIDADES TEMA 7 Y 8

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